Cuerpos geométricos.

 Vamos a empezar clasificando los cuerpos geométricos. En geometría es importante saber distinguir entre lo que es un poliedro o un cuerpo redondo y, a su vez, distinguir estos dos conceptos de los polígonos. Esperamos que una vez leído el contenido de este artículo, estas dudas queden resueltas.

Cuerpos geométricos

 

• Poliedros: son los cuerpos geométricos que están formados por caras planas (polígonos) y tienen volumen porque encierran un espacio.
• Cuerpos redondos o cuerpos de revolución: son la esfera, el cono y el cilindro. Se llaman así porque se pueden conseguir haciendo girar una figura sobre un eje.

Antes de conocer qué son los  poliedros, vamos a ver las diferencias que existen entre éstos y los polígonos.

La diferencia entre lo que son los polígonos y lo que son los poliedros es que los primeros están en 2D y los segundos en 3D; es decir, los polígonos no tienen volumen y los poliedros sí. Sin embargo, hay cosas que sí tienen en común, por ejemplo el hecho de clasificarse en regulares e irregulares:

 

• Poliedros regulares: son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y sus ángulos también iguales.
• Poliedros irregulares: son aquellos en los que no todos los polígonos que los forman son iguales.

Poliedros convexos: son los poliedros en los que todas sus caras pueden apoyarse sobre el plano. Además estos poliedros también pueden ser regulares o irregulares, quedando así.

Regulares: solo hay cinco y son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Irregulares: El prisma y la pirámide.

Poliedros cóncavos: son los poliedros en los que, al menos, una cara no puede apoyarse completamente sobre el plano.

Los polígonos y los poliedros también comparten el nombre de algunos de sus elementos como los vértices, las diagonales, las apotemas o las alturas; pero no de todos, ya que los poliedros además tienen caras, aristas, bases,…

https://cutt.ly/UnFt4IB.          Fuentes. 

Las figuras geométricas.

 

Las figuras geométricas son conjuntos cerrados definidos por una serie de puntos. El estudio de estas figuras, o geometría, es la rama de las matemáticas que se dedica a estudiar estas formas. Algunos ejemplos de figuras son el círculo, los triángulos, rectángulos, cuadrados…

Las ecuaciones de segundo grado.

 

Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2 ). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:

3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas la ecuaciones de segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente. Por ejemplo:

Ejercicio 1.- Expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:

3x2 - 3x/2 = x/2 - x + 2 + x2

Primero haremos denominador común para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos a:

6x2 - 3x = x - 2x + 4 + 2x2

Expresando todos los términos en el primer miembro: 4x2 - 2x - 4 = 0

y simplificando (dividiendo todo por 2): : 2x2 - x - 2 = 0.

RESOLUCIÓN GRÁFICA

Enseguida la resolveremos numéricamente, pero ahora veamos cómo hacerlo gráficamente:

La expresión del primer miembro de la ecuación, una vez simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el primer ejemplo anterior corresponde a :

f(x) ó y = 3x2 - 4x + 1.

Observa en la siguiente escena su representación gráfica.

Como puede verse la gráfica corresponde a una curva que se llama "parábola".

En este caso la parábola corta al eje de abscisas (X) en dos puntos; los valores de la abscisa "x" de dichos puntos serán la solución de la ecuación ya que para ellos y = 0 o sea: 3x2 - 4x + 1 = 0 que es lo que deseábamos.

Busca dichos valores de x moviendo el punto destacado sobre la curva o los valores de x en la ventana inferior de la escena (También puedes escribir un valor concreto de x borrando el actual).

Por tanto:

La solución de una ecuación de segundo grado es la "x" de los puntos de corte de la gráfica (parábola), que se obtiene de la ecuación, con el eje de abscisas (X).

Seguro que habrás obtenido como soluciones: x = 1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3).

A las soluciones de la ecuación, también se les llama "raices" de la ecuación.

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:

ax2 +bx + c = 0

donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro.

Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2 - 4x + 1 = 0: tendrá por soluciones:

Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación. 

https://cutt.ly/dnFeTTh        Fuentes. 

 

Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad matemática con una o más incógnitas. Dichas incógnitas deben ser despejadas o resueltas para encontrar el valor numérico de la igualdad.

Las ecuaciones de primer grado reciben este nombre porque sus variables (incógnitas) están elevadas a la primera potencia (X1), que suele representarse solo con una X.

Del mismo modo, el grado de la ecuación indica el número de soluciones posibles. Por lo tanto, una ecuación de primer grado (también llamada ecuación lineal) solo tiene una solución.

Ecuación de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones lineales con una incógnita, deben ejecutarse algunos pasos:

1. Agrupar los términos con X hacia el primer miembro y los que no llevan X al segundo miembro. Es importante recordar que cuando un término pasa al otro lado de la igualdad, su signo cambia (si es positivo pasa a ser negativo y viceversa).

3. Se realizan las operaciones respectivas en cada miembro de la ecuación. En este caso, corresponde una suma en uno de los miembros y una resta en el otro, lo que da como resultado:

4. Se despeja la X, pasando el término que tiene adelante al otro lado de la ecuación, con signo opuesto. En este caso, el término está multiplicando, así que ahora pasa a dividir.

5. Se resuelve la operación para conocer el valor de X.

Entonces, la resolución de la ecuación de primer grado quedaría de la siguiente manera:

Ecuación de primer grado con paréntesis

En una ecuación lineal con paréntesis, estos signos nos indican que todo lo que está dentro de ellos debe ser multiplicado por el número que tienen adelante. Este es el paso a paso para resolver ecuaciones de este tipo:

1. Multiplicar el término por todo lo que está dentro del paréntesis, con lo cual la ecuación quedaría de la siguiente forma:

2. Una vez que se ha resuelto la multiplicación, queda una ecuación de primer grado con una incógnita, que se resuelve como hemos visto anteriormente, es decir, agrupando los términos y haciendo las operaciones respectivas, cambiando los signos de aquellos términos que pasen al otro lado de la igualdad:

Ecuación de primer grado con fracciones y paréntesis

Aunque las ecuaciones de primer grado con fracciones parecen complicadas, realidad solo llevan algunos pasos extras antes de convertirse en una ecuación básica:

1. En primer lugar, hay que obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (el múltiplo más pequeño que sea común a todos los denominadores presentes). En este caso, el mínimo común múltiplo es 12.

2. Luego, se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores originales. El producto resultante va a multiplicar al numerador de cada fracción, los cuales ahora van entre paréntesis.

3. Se multiplican los productos por cada uno de los términos que se encuentran dentro de los paréntesis, tal y como se haría en una ecuación de primer grado con paréntesis.

Al culminar, se procede a simplificar la ecuación eliminando los denominadores comunes:

El resultado es una ecuación de primer grado con una incógnita, que se resuelve de la manera habitual:

https://www.significados.com/ecuacion-de-primer-grado/         Fuentes.

Las partes del estudio estadístico.

 En un estudio estadístico distinguimos:

a) Población: representa todo el conjunto de elementos que posee la información que vamos a analizar. Por ejemplo: si vamos a analizar la estatura media de los españoles la población sería todos los ciudadanos españoles.

b) Muestra: del total de la población se selecciona un grupo representativo que es el que vamos a estudiar.

Por ejemplo: para analizar la estatura media de los españoles no podemos recoger esta información de los 44 millones de ciudadanos españoles sino que tenemos que definir un grupo de estudio, por ejemplo seleccionar a 2.000 personas. Este grupo tiene que ser representativo de la sociedad española por lo que tiene que incluir a hombres y a mujeres, gente de la ciudad y del campo, gente de diversos niveles de renta, de diversas edades. Es decir, la muestra tiene que ser como una imagen “en miniatura” de la población.

No podríamos seleccionar estas 2.000 personas exclusivamente del entorno urbano y de niveles elevados de renta ya que muy probablemente su estatura sea superior a la de la media de los españoles, y por lo tanto las conclusiones que obtengamos no sean aplicables a la población española en su conjunto.

 c) Individuo: cada elemento de la muestra. En este ejemplo cada ciudadano del grupo de 2.000 que hemos seleccionado.

 d) Variable estadística: es la información que vamos a analizar. En nuestro ejemplo, la estatura media.

Las variables pueden ser:

Cualitativas: características que no se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, sexo.

Cuantitativas: características que sí se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, altura y edad.

Estas variables numéricas a veces pueden tomar valores muy concretos (por ejemplo, número de años en el colegio: de 1 a 15), en cuyo caso se denominan variables cuantitativas discretas, y otras veces pueden tomar un número casi ilimitado de valores (por ejemplo, estatura; 1,41, 1,42, ... 1,54, 1,55, … 1,81, 1,82, ….) en cuyo caso se denominan variables cuantitativas continuas.

Para hacer más manejable la información, las variables cuantitativas continuas se suelen agrupar por intervalos: por ejemplo estatura de 1,40 a 1,45, de 1,46 a 1,50, de 1,55 a 1,60, …. De esta manera reducimos los grupos de respuesta.

Cuando agrupamos la información por intervalos podemos denominarlos indicando el valor inferior y superior de cada intervalo (por ejemplo, intervalo del 1,40 al 1,45), o también podemos denominarlo indicando el valor central de cada intervalo (por ejemplo el intervalo 1,40 al 1,45 lo identificaríamos por 1,425). A este valor representativo de cada intervalo se denomina “marca de clase”.

 

e) Modalidad: son los valores que pueden tomar las variables.

Sexo: puede ser masculino o femenino.

Edad: 18 años, 19 años, 20 años hasta, 80, 90, … (si limitamos nuestro estudio a la población adulta).

Altura: ... 1,40 m, 1,41 m… , 1,60 m, 1,61 m... 2,10 m…

https://cutt.ly/enD5box

 

Estadísticas

La estadística es una ciencia matemática especializada en el análisis de grandes volúmenes de información para de ella extraer conclusiones. Tras analizar los datos deduce determinadas características de dicha información.

 Se puede distinguir entre:

Estadística descriptiva: analiza un conjunto de datos y extrae conclusiones.

Ejemplo: se analiza la estatura y el peso de los alumnos de una clase y se determina cual es el valor medio, cuales son los máximos y los mínimos, cual son los valores más repetidos.

Estadística inferencia: en base a un conjunto de datos permite predecir cómo se puede comportar la variable en un futuro, o bajo determinadas circunstancias.

Ejemplo: se analiza una serie de variables económicas (consumo, renta, paro, etc.) y a partir de ahí se predice cual puede ser la evolución futura de la economía.

 

https://cutt.ly/enD5box   Fuentes. 

Operaciones de los números reales.

 

Operaciones de los números reales

Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:

Propiedad Interna

Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real.

Propiedad Asociativa

El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo

a + (b + c) = (a + b) + c

a x (b x c) = (a x b) x c

Propiedad Conmutativa

Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.

a + b = b + a

a x b = b x a

Elemento neutro y elemento opuesto

En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número.

a + 0 = a

Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0).

En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.

a x 1 = a

0.453 x 1 = 0.453

En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad:

a x 1/a = 1

3.4 x 1/3.4 = 1

Propiedad Distributiva

El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a x (b + c) = a x b + a x c

Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.

a x b + a x c = a x (b + c)

La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.

Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar, contar y realizar cálculos.

https://cutt.ly/mnOF5ZI     Fuentes.